Kwadraten

Kwadraten. De meesten kunnen die van 1 t/m 10, misschien 15, redelijk snel opdreunen. 1, 4, 9, 16, 25, 36... Hier zit een regelmaat achter waar ik het in DEZE blog al eens over had. 

Maar stel nou dat je het kwadraat van 58 snel wilt berekenen, hoe pak je dat aan? Je kunt eerst 58x50 en dan 58x8 en dat bij elkaar optellen, maar er is een trucje voor:

1. haal van het getal er 25 van af. In ons voorbeeld: 58-25=33

2. haal van het getal er 50 van af. In ons voorbeeld: 58-50=8

3. Kwadrateer het antwoord van stap 2. In ons voorbeeld: 8x8=64

4. Zet de uitkomst van stap 1 en stap 3 achter elkaar. Dat is je antwoord. In ons voorbeeld: 58x58=3364

Dit trucje werkt voor alle kwadraten van 24 t/m 75. Hier en daar moet er wel wat aangepast worden.

Nog een voorbeeld: 33x33

1. 33-25=08

2. 33-50=-17

3. -17x-17=289

4. 33x33=(08+2)+89=1089

75x75

1. 75-25=50

2. 75-50=25

3. 25x25 =625

4. 75x75=(50+6)+25=5625

Maare.. hoe werkt dit trucje eigenlijk?

Stel, we noemen het getal dat we willen kwadrateren a.

* In stap 1 bereken je het honderdtal van het kwadraat. Bij het eerste voorbeeld was dat 3300(33x100), bij het tweede voorbeeld 800 en bij het derde voorbeeld 5000.

Wat we bij de eerste stap doen, is dus eigenlijk 100x(a-25).

* Bij stap 2 en 3 bereken je de eenheden. Dit doe je door (50-a) te kwadrateren.

* Als je alle stappen achter elkaar opschrijft en bij elkaar optelt (want dat is eigenlijk wat je doet bij stap 4), krijg je het volgende: 100(a-25)+(50-a)(50-a)=100a-2500+(2500-50a-50a+axa)=100a-2500+2500-100a+axa. Het enige wat hieruit overblijft, is axa, oftewel het kwadraat van a!

Soms is wiskunde nog leuker dan je dacht. :-)