Origami - cookiecutter

Dit gele ding heet volgens de maker een cookiecutter, maar de wiskundige naam is de Great dodecahemicosahedron. Er zit een klein verschil tussen deze twee dingen: de tussenschotten. 

Hoe ik het heb gemaakt is eigenlijk vrij simpel en veel tijd kostte het niet. Lees verder voor meer foto's, een handleiding en achtergrondinformatie. 

Kwadraten

Kwadraten. De meesten kunnen die van 1 t/m 10, misschien 15, redelijk snel opdreunen. 1, 4, 9, 16, 25, 36... Hier zit een regelmaat achter waar ik het in DEZE blog al eens over had. 

Maar stel nou dat je het kwadraat van 58 snel wilt berekenen, hoe pak je dat aan? Je kunt eerst 58x50 en dan 58x8 en dat bij elkaar optellen, maar er is een trucje voor:

1. haal van het getal er 25 van af. In ons voorbeeld: 58-25=33

2. haal van het getal er 50 van af. In ons voorbeeld: 58-50=8

3. Kwadrateer het antwoord van stap 2. In ons voorbeeld: 8x8=64

4. Zet de uitkomst van stap 1 en stap 3 achter elkaar. Dat is je antwoord. In ons voorbeeld: 58x58=3364

Dit trucje werkt voor alle kwadraten van 24 t/m 75. Hier en daar moet er wel wat aangepast worden.

Nog een voorbeeld: 33x33

1. 33-25=08

2. 33-50=-17

3. -17x-17=289

4. 33x33=(08+2)+89=1089

75x75

1. 75-25=50

2. 75-50=25

3. 25x25 =625

4. 75x75=(50+6)+25=5625

Maare.. hoe werkt dit trucje eigenlijk?

Stel, we noemen het getal dat we willen kwadrateren a.

* In stap 1 bereken je het honderdtal van het kwadraat. Bij het eerste voorbeeld was dat 3300(33x100), bij het tweede voorbeeld 800 en bij het derde voorbeeld 5000.

Wat we bij de eerste stap doen, is dus eigenlijk 100x(a-25).

* Bij stap 2 en 3 bereken je de eenheden. Dit doe je door (50-a) te kwadrateren.

* Als je alle stappen achter elkaar opschrijft en bij elkaar optelt (want dat is eigenlijk wat je doet bij stap 4), krijg je het volgende: 100(a-25)+(50-a)(50-a)=100a-2500+(2500-50a-50a+axa)=100a-2500+2500-100a+axa. Het enige wat hieruit overblijft, is axa, oftewel het kwadraat van a!

Soms is wiskunde nog leuker dan je dacht. :-)

Math Class

Zo'n docent wil iedereen toch wel?

Math on Monday - wortelspiraal

Helaas zijn niet alle lessen op de hogeschool even interessant. Om wel wiskundig bezig te blijven, heb ik deze wortelspiraal getekend.

Je begint met de meest rode driehoek. Twee zijden hebben een lengte van 1cm. Deze zijden zijn verbonden over een hoek van 90 graden. De schuine zijde heeft dan een lengte van wortel 2 (stelling van Pythagoras). Aan deze zijde teken ik een lijn van 1cm, ook onder een hoek van 90 graden. Deze schuine zijde heeft dan een lengte van wortel 3. De volgende schuine zijde heeft lengte wortel 4, oftewel 2cm. 

Deze spiraal heb ik verder getekend tot 5cm. Dat zijn wel 24 rechthoekige driehoeken!

Math on Monday - Origami (Grote sterdodecaeder)

Mijn 'polyedrofiliteit*' kwam weer op, want ik heb wat nieuws.
Het is mijn allereerste Kepler-Poinsotlichaam: de Grote Sterdodecader.
Het duurde iets langer dan ik lief had (ik schat in totaal, inclusief het juiste formaat knippen, 10 uur), maar nu is hij af, zonder een druppel lijm te hebben gebruikt!

Dan kan ik nu in vrede gaan werken aan Analyse - Differentiaalvergelijkingen. Volgende missie: ik denk de octaeder en de echte dodecaeder, of een Archimedisch Lichaam...

Math on Monday - Origami (deel 2)

In de allereerste blog van Math on Monday en wat maanden later had ik het al over origami. Deze hobby, die al op een obsessie* begint te lijken, zet ik door. Ik heb een nieuw bouwwerk gevonden, en wel de Bascetta Star. Hij doet me denken aan de Grote Sterdodecaëder, maar ik weet pas echt of hij hetzelfde is, als ik 'm in mijn handen heb. Even geduld dus!

 


*polyedrofiel: Het verschijnsel dat een klein aantal mensen zo verrukt zijn van veelvlakken (polyeders), dat ze het niet kunnen laten om er mee te spelen, ze te analyseren, ze te plakken of ze te boetseren, en bovenal zich erin te verlustigen, zodat men dit verschijnsel eigenlijk 'polyedromanie' zou moeten noemen.

Vermenigvuldigen

Als docent wiskunde is het belangrijk dat je de wiskunde goed kunt uitleggen. Niet alleen zeggen 'dat het zo is', maar ook de waarom vermelden, net wat meer dan het boek doen. De leerling zal het lang niet allemaal precies weten, maar het zal in ieder geval beter beklijven dan een trucje.

Ook moet je als docent naar de leerling luisteren. Wat zijn de denkstappen van de leerling, waar gaat hij verkeerd?

Hieronder twee filmpjes die illustreren welke fout een leerling kan maken als het om vermenigvuldigen gaat. 

Math on Monday - Science museum of London

 

Afgelopen week zat ik met de opleiding in Londen (vandaar een week zonder blogs). In deze week hebben we Stonehenge bezocht, een stadswandeling door Londen gemaakt, zijn we naar de lerarenopleiding geweest en mochten we in het Science Museum. Daar wil ik het vandaag over hebben.

Het museum heeft een aparte afdeling door wiskunde. Hier voelde ik mij echt helemaal thuis! Ze hadden de fles van Klein in verschillende vormen en maten. Zie het als een soort möbiusband, maar dan in 3D. Ook waren er ellipsografen en andere tekeninstrumenten. Het mooiste moet nog komen: vitrinekasten vol met wiskundige lichamen!

Ze begonnen met de Platonische Lichamen, inclusief uitleg waarom het er maar vijf zijn er wat er bijzonder aan is. Als je van deze lichamen de hoekjes afsnijdt (afknotten heet dat), ze wat stomper of 'ronder' maakt, heb je de dertien Archimedische Lichamen. Deze kwamen dan ook als tweede, opnieuw met uitleg waar ze vandaan komen.

Dit kende ik allemaal al, maar toen kwam er iets nieuws, iets

dat ik nog nooit eerder had gezien. De Catalan-Lichamen en de Kepler-Poinsot-Lichamen. Na thuiskomst heb ik geprobeerd om er wat van op te zoeken in mijn vele wiskundeboeken, maar ik kon er niet zoveel over vinden als ik graag had gehoopt. Ook hadden ze prisma's, antiprisma's en tessellaties, gewoon schitterend! 

In plaats van er van alles over te schrijven, laat ik de beelden spreken. Als ik in een gigantisch groot huis woon, wil ik al deze lichamen in mijn studeerkamer hebben! 

*Deze foto's laten slechts een deel van de collectie zien.

Doceren versus oppassen

Het beroep docent is eigenlijk maar een apart beroep. Ze werken slechts 9 of 10 maanden per jaar, kunnen uitslapen in het weekend, hoeven nooit zo vroeg op en zijn lekker vroeg thuis. Het wordt eens hoog tijd dat we hun salaris in perspectief brengen. Want wat doen docenten nou eigenlijk? Oppassen, babysitten, dat doen ze! 

Nou, een oppasser verdient het minimumloon, dus dan kunnen die docenten dat ook wel krijgen. Hoeveel zal dat verdienen, €5 of zo? Prima, vijf euro's per uur dat ze les geven. We maken het niet te bont: geen geld voor gekke dingen als nakijken, voorbereiden, oudergesprekken. Een gemiddelde lesdag duurt wel zo'n zes lesuren, dus op één dag krijgen ze €30. 

Maar ja, in die zes lesuren passen die malle docenten niet op één kind. Per uur zijn het er wel een stuk of 25. Per kind €5 per uur, dus op één dag €30 x 25=€750. 

Eens even kijken, hoeveel weken werken die mensen nou? Een stuk of 40, waarbij die introductieweken en de laatste weken natuurlijk niks voorstellen, dus 36 weken doen ze echt wat. Vijf dagen per week, dus 36 x 5=180 dagen. Nou, 180 x €750=€135.000 per jaar.

Natuurlijk zul je wel begrijpen dat die docenten ooit wat gestudeerd hebben, dus die hebben als minimumloon wel zo'n 10 euro. Mooie schatting, toch? Dat zou dan 180 dagen x €10 x 6 uur x 25 leerlingen = €270.000 per jaar. Best een leuk bedrag, vind je niet?

Maar iets klopt er niet.

Een docent kan op z'n maximum €4.962 verdienen (BRON). In één jaar is dat dus €4.962 x 12 maanden = €59.544. Bijna €60.000 voor die 180 dagen. Per dag is dat dan €330,80. Zoals ik al eerder aannam, werken ze zes uur, dus per uur verdienen ze €55,13. In dat uur passen ze op 25 kinderen. Per kind krijgen ze dus €2,21. 

Niet eens 3 euro om op je kind te passen, waarden en normen bij te brengen, een vak aan te leren, wat een service zeg!

Vier vieren

Voor vandaag heb ik een simpele opdracht. Ik geef je vier vieren. Daarmee maak je een som. Je mag machtsverheffen (4^4=4*4*4*4=256), worteltrekken, faculteit (4!=4*3*2*1=24), haakjes gebruiken, delen, vermenigvuldigen, optellen en aftrekken.

Je maakt niet zomaar een som, maar een rijtje. Zie hiernaast. 

Ik daag je uit om de getallen 1 tot en met 20 te maken. Niet spieken, niet googelen, gewoon puur eigen hersenwerk.

Van een driehoek naar een parabool (deel 2)

Vorige week schreef ik in DEZE blog over een stelling die ik op de hogeschool hoorde. Het tekenen lukte me, maar het echte bewijs vond ik wat lastiger.. 
Tot afgelopen vrijdag. Een beetje denk- en rekenwerk en ik had de oplossing! Daar heb ik een mooi verhaal bij geschreven, dat je hieronder kunt lezen. Ik ben zo trots op mezelf! :-)

Van een driehoek naar een parabool

Vandaag hadden we het op de hogeschool bij het vak Meetkunde+ over een stelling. Deze stelling ging over een driehoek. De docent kon de stelling niet bewijzen en nu wil ik het wel kunnen. 

Het begon zo: je hebt een willekeurige driehoek ABD. Met deze driehoek stel je loodlijnen op die door de hoekpunten gaan. In dit plaatje: de blauwe dikke stippellijnen. Deze loodlijnen snijden elkaar in het punt M. 

Door punt D gaat een lijn die evenwijdig is aan AB. Als je punt D over deze lijn beweegt, beweegt punt M mee. De stelling luidt dat het punt M de vorm van een parabool volgt. In dit plaatje: de paarse kromme. 

Ik heb het hier al eerder over gehad in DEZE blog: hoe bewijs je zoiets? Op de middelbare school heb je een formule geleerd voor parabolen (iets als y=x^2 of y=-4x^2+10x-5), maar daar komen we niet ver mee. Je moet kijken naar de eigenschappen van een parabool.

Een parabool is namelijk de conflictlijn van een punt en een lijn. Dit betekent dat op de parabool alle punten liggen die even ver verwijderd liggen van het punt als van de lijn. Bij éven ver liggen' kijk je naar de kortste afstand, oftewel loodrecht.

Eerst ging ik aan de slag met loodlijnen, deellijnen en cirkels, maar daar kwam ik niet ver mee. Ik besloot om hulppunten te maken. Punt D verschuif je over de lijn. Punt D heb ik zo verschoven, dat de loodlijn door D door het punt E gaat. Punt E is het midden van AB. Het verschoven punt D heb ik punt H genoemd. Het punt M is dan verschoven naar punt N.

Het volgende wat ik heb gedaan, kwam uit, al weet ik nog niet hoe.

Eerst maakte ik een cirkel met middelpunt N door punt H. Waar de groene loodlijn de cirkel snijdt, is punt F. Het midden van punt F en N is punt G.

Daarna zocht ik het midden op van N en E. Dit midden noemde ik punt I.

Als laatste stap zocht ik het midden van G en I. Dat is punt J (de paarse punt). 

Nu ik mijn punt heb gevonden, hoef ik alleen nog maar een lijn. Daarmee kan ik de conflictlijn tekenen. De rechte lijn is evenwijdig aan AB. Als je punt J in punt N spiegelt, weet je op welke hoogte de rechte lijn moet. In dit plaatje: de paarse lijn.

De conflictlijn die hieruit volgt is dezelfde kromme als alle punten waar M komt. Toeval, of kan ik het echt bewijzen?

Hopelijk raas ik niet te ver door in de wiskunde. Wordt (hopelijk) vervolgd. 

Pi-dag

Afgelopen donderdag, 14 maart, was het pi-dag. Deze dag wordt op verschillende manieren gevierd. Zo staan sommigen stil bij de rol die π in hun leven gespeeld heeft en proberen zich op humoristische wijze een wereld zonder π voor te stellen. De viering begint gewoonlijk om 13:59 uur (1:59 PM), omdat de zescijferige benadering van π 3,14159 is. Mensen die de 24-uurs klokindeling gebruiken handhaven een ander begin: 1:59 of 15:09.

Het "ultieme π-moment" was op 14 maart 1592 om 6:53 en 58 seconden, omdat dit 3/14/1592 6:53:58 in de Amerikaanse schrijfwijze voor data is. Dit komt overeen met de eerste 12 cijfers van π (3,14159265358).

Op scholen en universiteiten in Amerika begon men een aantal jaren geleden de π-dag te vieren met het eten van taart (in het Engels pie, ook de letter pi wordt door Engelstaligen zo uitgesproken) of pizza. Of er worden etenswaren gemaakt in de vorm van een π-teken. Ook is er een spel aan verbonden, kinderen moeten proberen te raden wat het getal van π is met behulp van een cirkel en hun schoen.

Ter ere van deze dag, een bijpassende afbeelding! 

Vermoedens en bewijzen

Een belangrijk deel van de wiskunde bestaat uit bewijzen. Stellingen kun je op verschillende manieren bewijzen. Een van die manieren is het volledige inductie. Daar heb ik het in DEZE blog over gehad. Je kunt ook doen alsof het niet zo is, waarmee je in tegenspraak komt, waardoor de stelling wel waar moet zijn. Dit heet bewijzen uit het ongerijmde.

Sommige stellingen zijn niet te bewijzen. Een stelling die niet bewezen is, heet een vermoeden. Een van de bekendste (en meest makkelijk te snappen) vermoedens is het vermoeden van Goldbach: "Elk even getal groter dan 2 kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen* (een priemgetal mag hierbij twee keer gebruikt worden)." 
We beginnen bij het begin: 3=2+1. Dat kan.
4=2+2=3+1
5=3+2
6=3+3
7=5+2
8=5+3
9=7+2

We beginnen door te krijgen dat het vermoeden kan kloppen. Maar kan dit voor echt elk getal?  Tientallen, misschien wel honderden of zelfs duizenden wiskundigen hebben geprobeerd om dit vermoeden te bewijzen. Tevergeefs. 
Waar gaat het dan fout? Het zit hem in de priemgetallen. Voor de meeste bewijzen is er een eigenschap waar je wat mee kunt. Een oneven getal kun je zeggen "2k+1", waarbij k een geheel getal is. Een getal dat deelbaar is kun je zeggen "3k". Maar een priemgetallen formule.. nee, die bestaat niet. Men heeft het wel geprobeerd hoor, maar het is niet gelukt. Er zijn wel bijzondere priemgetallen gevonden: Mersenne-priemgetallen, maar verder.. 

Dat vind ik misschien wel het leukste aan wiskunde: iets dat er zo simpel uit ziet, maar niet op te lossen is.

* een priemgetal is een getal dat alleen deelbaar is door zichzelf en 1 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etc.)

Breuken vouwen

Je hebt een blaadje. Het maakt niet uit of het A4, A5, een andere rechthoek of een vierkant is. Waar het om gaat, is dat de zijden recht zijn (dus geen afgescheurd papier).

Vouw het blaadje in tweeën. Dit kan via de diagonaal (de schuine zijde), of via de rechte zijde. We gebruiken de tweede methode. Wat je krijgt, zijn twee rechthoeken die precies even groot zijn. De zijde heb je nu in twee even grote stukken verdeeld. Herhaal je dit proces voor de rechthoeken die je net hebt gevouwen, heb je het lijnstuk (een van de zijden van het papier) in vier even grote stukken verdeeld. 

Maar wat als je het papier in drie of in vijf even grote stukken wilt verdelen?
Eerst vouw je het papier in vier even grote stukken (in de afbeelding is het het eerste plaatje). Vervolgens vouw je een van de diagonalen van je papier en de diagonalen van elke rechthoek (tweede plaatje).  Deze vouwlijnen snijden elkaar. Precies op dat punt moet de vouwlijn komen om je papier in vijf even grote stukken te verdelen.

Een beetje hocus pocus misschien, maar dit is een van de dingen die we op school krijgen. Dan gaan we niet alleen vouwen, maar bewijzen we ook dat het echt in precies vijf even grote stukken is. Dit bewijs laat ik voor het leesgemak even achterwege. ;-)

Math on Monday - 3D puzzels

Laatst kreeg ik, voor mijn verjaardag, een 3D puzzel. 

(1 bonuspunt)

Van bamboe, wel te verstaan. 

(1 bonuspunt)

Bamboe, een plant (of beter gezegd: grassoort) die/dat zo snel groeit, dat je een week later niet meer merkt waar is gekapt. 

'Milieuvriendelijk' zegt de verpakking, met een panda erop.

(2 bonuspunten)

De puzzel heeft de vorm van een piramide, een tetraeder om preciezer te zijn, gemaakt van acht gelijkzijdige driehoeken. Eigenlijk zijn het twee piramides in elkaar, die voor een dichte, grotere piramide zorgen.

(2 bonuspunten)

Toen ik eens met mijn vriendin in een boekenwinkel liep, zag ik deze puzzels al staan en werd er verliefd op (mijn vriendin is nog steeds nummer 1 hoor, niks van wiskunde of wat dan ook kan dat veranderen). De regelmaat, de symmetrie, de wiskunde, de uitdaging, de speelsheid.. 

Ik heb de puzzels niet gekocht (welke zou ik dan moeten kiezen?!) en ben echt super blij dat ik nog een wiskundig speeltje heb. Een klein nadeel: mijn tweede wiskundeplank moet groter worden. ;-)

Math on Monday

Math on Monday - Klokken

Op klokken kun je zien hoe laat het is. Daarvoor zijn ze immers gemaakt. Klokken hebben doorgaans de getallen 1 t/m 12. Het kan ook anders. 

Bijvoorbeeld de klok met de vier vieren. Door de som op te lossen, krijg je het juiste getal.

Hetzelfde geldt voor de drie negens. Helaas is deze versie niet correct, omdat er bij de "twee" maar twee negens staan. Zo op te lossen: wortel (9) min 9/9.

Dan nog de klok die in het tweetallig stelsel telt (binair).

En misschien wel mijn favoriet: de goniometrische klok! 1 uur komt overeen met een hoek van 30 graden, oftewel 1/3 pi.  Met de eenheidscirkel kun je er coördinaten bij zetten.

Math on Monday - 3D Ster

In mijn eerste blog van Math on Monday had ik het over origami, waar ik drie Platonische Lichamen had gevouwen: de tetraeder, hexaeder en icosaeder. Ik mis er dan nog twee. Een van die heb ik, hetzij in een andere vorm, vandaag gevouwen. Het is de dodecaeder in stervorm. 

Eerst de dodecaeder. Als je twaalf regelmatige vijfhoeken aan elkaar plakt, heb je het figuur. Eerder heb ik ook geschreven over de Vijfhoekbloem. Dat is, in platte vorm, de helft van een dodecaeder. 

Een dodecaeder bestaat uit regelmatige vijfhoeken. Ik heb er regelmatige sterren van gemaakt. Het was eventjes vouwen, maar dan heb je ook wat!

Math on Monday - oorbellen combineren

Ik heb vier gaatjes in mijn oren: twee in mijn linker en twee in mijn rechter. Ruimte voor vier oorbellen dus. 

Ruimte voor vier oorbellen. Ik heb onder andere 10 ritsen als oorbellen. Vijf kleuren, elke kleur komt twee keer voor. Als ik alleen ritsen wil dragen en niet let op de kleur, kan ik de ritsen op 5040 manieren combineren (10*9*8*7). Dit betekent dat ik in ruim 13 jaar, elke dag een ander setje oorbellen in kan doen, zonder ooit twee dagen hetzelfde in te hebben!

Hier zit natuurlijk wel een addertje onder het gras. Ik heb twee blauwe: de linker en de rechter. Laat ik ze blauw-A en blauw-B noemen. De combinatie blauw-A, blauw-B, groen-A, groen-B is op papier een andere combinatie dan blauw-B, blauw-A, groen-B, groen-A, maar in praktijk kom je op hetzelfde uit.

Laat ik het anders doen: de kleuren A horen bij mijn linkeroor, de kleuren B bij mijn rechter.

Voor mijn linkeroor heb ik dan 20 combinaties (5*4). Hetzelfde geldt voor mijn rechteroor. Samen maakt dat 400 combinaties (20*20). 

Wat ik hier niet kan, is dat ik in mijn linkeroor twee blauwe heb en ik mijn rechter twee groene. Toch wel een beetje jammer, maar misschien moet ik dan maar niet zo gek doen. 

Hoe dan ook, ik heb genoeg combinaties om te maken, en dan heb ik het niet eens over al mijn andere oorbellen gehad en over of ze bij mijn veters matchen.

Ach joh, genoeg statistiek, nog een tentamen te gaan deze week en 6 verslagen te schrijven, 11 februari begint het nieuwe blok met nieuwe vakken, oude boeken, nieuwe readers en oude docenten. Dat laatste is zowel letterlijk als figuurlijk. ;-)