Vandaag hadden we het op de hogeschool bij het vak Meetkunde+ over een stelling. Deze stelling ging over een driehoek. De docent kon de stelling niet bewijzen en nu wil ik het wel kunnen.
Het begon zo: je hebt een willekeurige driehoek ABD. Met deze driehoek stel je loodlijnen op die door de hoekpunten gaan. In dit plaatje: de blauwe dikke stippellijnen. Deze loodlijnen snijden elkaar in het punt M.
Door punt D gaat een lijn die evenwijdig is aan AB. Als je punt D over deze lijn beweegt, beweegt punt M mee. De stelling luidt dat het punt M de vorm van een parabool volgt. In dit plaatje: de paarse kromme.
Ik heb het hier al eerder over gehad in DEZE blog: hoe bewijs je zoiets? Op de middelbare school heb je een formule geleerd voor parabolen (iets als y=x^2 of y=-4x^2+10x-5), maar daar komen we niet ver mee. Je moet kijken naar de eigenschappen van een parabool.
Een parabool is namelijk de conflictlijn van een punt en een lijn. Dit betekent dat op de parabool alle punten liggen die even ver verwijderd liggen van het punt als van de lijn. Bij éven ver liggen' kijk je naar de kortste afstand, oftewel loodrecht.
Eerst ging ik aan de slag met loodlijnen, deellijnen en cirkels, maar daar kwam ik niet ver mee. Ik besloot om hulppunten te maken. Punt D verschuif je over de lijn. Punt D heb ik zo verschoven, dat de loodlijn door D door het punt E gaat. Punt E is het midden van AB. Het verschoven punt D heb ik punt H genoemd. Het punt M is dan verschoven naar punt N.
Het volgende wat ik heb gedaan, kwam uit, al weet ik nog niet hoe.
Eerst maakte ik een cirkel met middelpunt N door punt H. Waar de groene loodlijn de cirkel snijdt, is punt F. Het midden van punt F en N is punt G.
Daarna zocht ik het midden op van N en E. Dit midden noemde ik punt I.
Als laatste stap zocht ik het midden van G en I. Dat is punt J (de paarse punt).
Nu ik mijn punt heb gevonden, hoef ik alleen nog maar een lijn. Daarmee kan ik de conflictlijn tekenen. De rechte lijn is evenwijdig aan AB. Als je punt J in punt N spiegelt, weet je op welke hoogte de rechte lijn moet. In dit plaatje: de paarse lijn.
De conflictlijn die hieruit volgt is dezelfde kromme als alle punten waar M komt. Toeval, of kan ik het echt bewijzen?
Hopelijk raas ik niet te ver door in de wiskunde. Wordt (hopelijk) vervolgd.
Geen opmerkingen:
Een reactie posten