THINK

Deze afbeelding vond ik zo mooi, zo sprekend, dat ik hem wilde delen. 

Dat is kracht!

Vandaag de dag kan vrijwel iedereen een foto bewerken. De een gebruikt Paint, de ander heeft een geavanceerd programma. Maar wat deze gast doet.. Ik vind het gaaf! 

 

 

Van een driehoek naar een parabool

Vandaag hadden we het op de hogeschool bij het vak Meetkunde+ over een stelling. Deze stelling ging over een driehoek. De docent kon de stelling niet bewijzen en nu wil ik het wel kunnen. 

Het begon zo: je hebt een willekeurige driehoek ABD. Met deze driehoek stel je loodlijnen op die door de hoekpunten gaan. In dit plaatje: de blauwe dikke stippellijnen. Deze loodlijnen snijden elkaar in het punt M. 

Door punt D gaat een lijn die evenwijdig is aan AB. Als je punt D over deze lijn beweegt, beweegt punt M mee. De stelling luidt dat het punt M de vorm van een parabool volgt. In dit plaatje: de paarse kromme. 

Ik heb het hier al eerder over gehad in DEZE blog: hoe bewijs je zoiets? Op de middelbare school heb je een formule geleerd voor parabolen (iets als y=x^2 of y=-4x^2+10x-5), maar daar komen we niet ver mee. Je moet kijken naar de eigenschappen van een parabool.

Een parabool is namelijk de conflictlijn van een punt en een lijn. Dit betekent dat op de parabool alle punten liggen die even ver verwijderd liggen van het punt als van de lijn. Bij éven ver liggen' kijk je naar de kortste afstand, oftewel loodrecht.

Eerst ging ik aan de slag met loodlijnen, deellijnen en cirkels, maar daar kwam ik niet ver mee. Ik besloot om hulppunten te maken. Punt D verschuif je over de lijn. Punt D heb ik zo verschoven, dat de loodlijn door D door het punt E gaat. Punt E is het midden van AB. Het verschoven punt D heb ik punt H genoemd. Het punt M is dan verschoven naar punt N.

Het volgende wat ik heb gedaan, kwam uit, al weet ik nog niet hoe.

Eerst maakte ik een cirkel met middelpunt N door punt H. Waar de groene loodlijn de cirkel snijdt, is punt F. Het midden van punt F en N is punt G.

Daarna zocht ik het midden op van N en E. Dit midden noemde ik punt I.

Als laatste stap zocht ik het midden van G en I. Dat is punt J (de paarse punt). 

Nu ik mijn punt heb gevonden, hoef ik alleen nog maar een lijn. Daarmee kan ik de conflictlijn tekenen. De rechte lijn is evenwijdig aan AB. Als je punt J in punt N spiegelt, weet je op welke hoogte de rechte lijn moet. In dit plaatje: de paarse lijn.

De conflictlijn die hieruit volgt is dezelfde kromme als alle punten waar M komt. Toeval, of kan ik het echt bewijzen?

Hopelijk raas ik niet te ver door in de wiskunde. Wordt (hopelijk) vervolgd. 

Visie op het onderwijs

Om eerlijk te zijn, ben ik van mening dat het onderwijs zoals dat in Nederland is, stevig veranderd moet worden.

Ten eerste moet de bemoeienis van de overheid weg. Natuurlijk wil men, en met name de politici, dat het onderwijs in Nederland deugt en dat wij daar trots op kunnen zijn, maar helpen al deze regels? Nederland is in de ban van cijfers. Een school mag je een ‘goede’ basisschool noemen als de citoscore boven het landelijk gemiddelde ligt. Maar wat nou als jouw basisschool in een achterstandsbuurt staat en de kinderen boven verwachting hebben gepresteerd? Worden ze dan nog steeds gestraft, omdat ze onder het gemiddelde zitten?

Op de middelbare school geldt precies hetzelfde. Bij de inschrijving van toekomstige brugklassers wordt steeds vaker naar deze momentopname gekeken, terwijl de cito weinig zegt over de kennis van de leerling. Wat nou als hij de vragen bij wiskunde verkeerd heeft gelezen, maar wel de berekening goed heeft? Wat als de leerling door ziekte de toets verpest, of als hij last heeft van faalangst, moet hij dan naar de mavo?

Na de cito wordt er alleen maar verder op cijfers gekeken. Bij leerlingbesprekingen gaat het over de zwakke leerlingen, over wat er fout gaat. Goede leerlingen, maar vaak ook de ‘gewone’ leerlingen, komen niet tot nauwelijks aan de beurt. Zesjes zijn netjes, dus wordt er niet over gesproken. Tegelijkertijd wil men af van de zesjescultuur.

Dit brengt mij bij het tweede punt: de niveauverdeling. Je bent óf een mavo-leerling, of een havo-leerling, of een vwo-leerling. Al ben je geweldig in natuurkunde, als je slecht bent in talen kom je niet hoger dan de havo. Een probleem? Ja, ik vind van wel. Deze leerling zou zich vreselijk vervelen tijdens de lessen natuurkunde, omdat hij een veel hoger niveau aankan. In theorie moet de docent dan differentiëren, rekening houden met de hogere en de lagere niveaus. Waarom wordt dit niet grootschalig beslist?

De ene leerling zit te laag, terwijl de andere leerling net de hoog zit. Of het nou is omdat havo mooier klinkt dan mavo, omdat je met havo meer kunt of een andere reden, je moet op je tenen lopen. Misschien haalt de leerling het met krappe zesjes, eventueel een jaartje extra, maar misschien ook niet. Wat heeft het voor nut om uren in Frans te steken, als je topsporter wilt en kunt worden?

In mijn visie zou de middelbare school voor iedereen uit vijf jaar moeten bestaan. Het eerste jaar is voor elke leerling hetzelfde: iedereen krijg een basispakket, met lesstof die we nu onder de noemer ‘havo’ zouden plaatsen. Na dit jaar wordt er gekeken naar de mogelijkheden: waar is de leerling sterk in en waar niet? Dit wordt dan verdeeld in drie tot vijf niveaus, van makkelijk naar moeilijk. Na het derde jaar wordt er een richting gekozen (exact, maatschappelijk, talen), waarbij elk vak gekozen mag worden.

In praktijk is dit natuurlijk niet te doen. Dit is qua roosters niet te doen. Ook zouden alle schoolboeken herschreven moeten worden en zou het prettig zijn als de docenten een omscholingscursus zouden krijgen. In deze tijden van crisis lijkt het mij hoogst onwaarschijnlijk dat ze ook maar iets nuttigs gaan veranderen. Nee, ik acht de kans groter dat Willem-Alexander en Maxima gaan scheiden en dat Maxima er met Beatrix vandoor gaat.

Pi-dag

Afgelopen donderdag, 14 maart, was het pi-dag. Deze dag wordt op verschillende manieren gevierd. Zo staan sommigen stil bij de rol die π in hun leven gespeeld heeft en proberen zich op humoristische wijze een wereld zonder π voor te stellen. De viering begint gewoonlijk om 13:59 uur (1:59 PM), omdat de zescijferige benadering van π 3,14159 is. Mensen die de 24-uurs klokindeling gebruiken handhaven een ander begin: 1:59 of 15:09.

Het "ultieme π-moment" was op 14 maart 1592 om 6:53 en 58 seconden, omdat dit 3/14/1592 6:53:58 in de Amerikaanse schrijfwijze voor data is. Dit komt overeen met de eerste 12 cijfers van π (3,14159265358).

Op scholen en universiteiten in Amerika begon men een aantal jaren geleden de π-dag te vieren met het eten van taart (in het Engels pie, ook de letter pi wordt door Engelstaligen zo uitgesproken) of pizza. Of er worden etenswaren gemaakt in de vorm van een π-teken. Ook is er een spel aan verbonden, kinderen moeten proberen te raden wat het getal van π is met behulp van een cirkel en hun schoen.

Ter ere van deze dag, een bijpassende afbeelding! 

Ik ben BOOS!

Normaal deel ik echt nooit wat op facebook, maar dit gaat mij persoonlijk aan het hart. Ik vind het bespottelijk (wat zeg ik: discriminerend!) dat een lesbisch koppel geen kind op kan voeden, puur en alleen omdat ze lesbisch zijn. Dit stel is zo aardig om hun huis open te zetten en het kindje op te vangen. We kunnen beter gaan protesteren tegen gezinnen die hun kinderen niet genoeg liefde geven, zodat ze niet uit huis worden geplaatst. Bespottelijk!

Voor wie meer wil weten of niet genoeg weet:

www.volkskrant.nl 

www.nu.nl  

www.nu.nl 

www.nu.nl 

Het onderwijs

Deze twee artikelen vind ik wel de moeite waard om te vermelden.

http://1vjongerenpanel.eenvandaag.nl/uitslagen/45115/scholieren_willen_digitaler_onderwijs

http://www.eenvandaag.nl/binnenland/45127/onderwijstop_in_amsterdam

Ik ben benieuwd of er nu iets aan de huidige vorm van het onderwijs gaat veranderen..

Vermoedens en bewijzen

Een belangrijk deel van de wiskunde bestaat uit bewijzen. Stellingen kun je op verschillende manieren bewijzen. Een van die manieren is het volledige inductie. Daar heb ik het in DEZE blog over gehad. Je kunt ook doen alsof het niet zo is, waarmee je in tegenspraak komt, waardoor de stelling wel waar moet zijn. Dit heet bewijzen uit het ongerijmde.

Sommige stellingen zijn niet te bewijzen. Een stelling die niet bewezen is, heet een vermoeden. Een van de bekendste (en meest makkelijk te snappen) vermoedens is het vermoeden van Goldbach: "Elk even getal groter dan 2 kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen* (een priemgetal mag hierbij twee keer gebruikt worden)." 
We beginnen bij het begin: 3=2+1. Dat kan.
4=2+2=3+1
5=3+2
6=3+3
7=5+2
8=5+3
9=7+2

We beginnen door te krijgen dat het vermoeden kan kloppen. Maar kan dit voor echt elk getal?  Tientallen, misschien wel honderden of zelfs duizenden wiskundigen hebben geprobeerd om dit vermoeden te bewijzen. Tevergeefs. 
Waar gaat het dan fout? Het zit hem in de priemgetallen. Voor de meeste bewijzen is er een eigenschap waar je wat mee kunt. Een oneven getal kun je zeggen "2k+1", waarbij k een geheel getal is. Een getal dat deelbaar is kun je zeggen "3k". Maar een priemgetallen formule.. nee, die bestaat niet. Men heeft het wel geprobeerd hoor, maar het is niet gelukt. Er zijn wel bijzondere priemgetallen gevonden: Mersenne-priemgetallen, maar verder.. 

Dat vind ik misschien wel het leukste aan wiskunde: iets dat er zo simpel uit ziet, maar niet op te lossen is.

* een priemgetal is een getal dat alleen deelbaar is door zichzelf en 1 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etc.)

Miek en klefheid

"Ik hou van jou en wil jou nooit meer kwijt, jij bent heel mijn wereld en wij zijn perfect" 
Wie kent het niet? Zo'n klef stel op sociale media (of misschien nog erger: in het echte leven) dat elkaar elke vijf minuten laat weten hoe erg ze verliefd zijn. Zo klef, dat je er bijna gek van wordt. 
Natuurlijk, je mag laten weten dat je een relatie hebt en dat je nog steeds stapelverliefd bent, maar er zit een verschil tussen een lief berichtje en een klef berichtje.

Dingen die je wel tegen elkaar zegt, maar niet op internet zet:
1) "Ik hou van jouw kusjes, ik wil er nog een!"
*geeft kusje*
"Ik wil nog een kusje!"
"Je hebt er net eentje gehad!"
"Dat was geen kusje, dat was een stukje hemel"

2) "Gaan jullie straks uit eten? Dan moet je echt goed eten. Kies het lekkerste uit!"
"Het lekkerste heb ik al, dat is mijn vriendinnetje."

3) "Mijn hart gaat sneller kloppen als ik je zie, dat voel ik gewoon!"
"Ik voel mijn hart niet, ik heb geen hart."
"Oh nee, hoe komt dat!"
"Jij hebt mijn hartje."

Gelukkig plaats ik nooit kleffe dingen online ;-)

The Piano Guys

The Piano Guys is een coverband die echt prachtig werk aflevert. Ik heb ze al eens aan gehaald in DEZE en DEZE blog, maar ik vind ze zo goed, dat ze een aparte blog verdiend hebben! 

Breuken vouwen

Je hebt een blaadje. Het maakt niet uit of het A4, A5, een andere rechthoek of een vierkant is. Waar het om gaat, is dat de zijden recht zijn (dus geen afgescheurd papier).

Vouw het blaadje in tweeën. Dit kan via de diagonaal (de schuine zijde), of via de rechte zijde. We gebruiken de tweede methode. Wat je krijgt, zijn twee rechthoeken die precies even groot zijn. De zijde heb je nu in twee even grote stukken verdeeld. Herhaal je dit proces voor de rechthoeken die je net hebt gevouwen, heb je het lijnstuk (een van de zijden van het papier) in vier even grote stukken verdeeld. 

Maar wat als je het papier in drie of in vijf even grote stukken wilt verdelen?
Eerst vouw je het papier in vier even grote stukken (in de afbeelding is het het eerste plaatje). Vervolgens vouw je een van de diagonalen van je papier en de diagonalen van elke rechthoek (tweede plaatje).  Deze vouwlijnen snijden elkaar. Precies op dat punt moet de vouwlijn komen om je papier in vijf even grote stukken te verdelen.

Een beetje hocus pocus misschien, maar dit is een van de dingen die we op school krijgen. Dan gaan we niet alleen vouwen, maar bewijzen we ook dat het echt in precies vijf even grote stukken is. Dit bewijs laat ik voor het leesgemak even achterwege. ;-)

Een kleine impressie

Je ligt naast me. Vredig lig je te slapen. Het was een lange, vermoeiende dag. Samen keken we naar een programma. Jij en ik, liggend in bed, knuffelen. Ik zag dat je ogen dicht beginnen te vallen. "Ga maar slapen meiske, ik blijf bij je liggen." Vertrouwd legde je je hoofd op mijn schouder en kroop je nog wat dichter tegen me aan. In enkele seconden viel je in een diepe slaap.

Je ligt naast me. Vredig lig je te slapen. Na een tijdje lag ik niet lekker en besloot om eruit te gaan. Heel voorzichtig, om jou niet wakker te maken, trok ik mijn arm onder je vandaan. De grote cuddlebug legde ik naast je, met de rits naar beneden. Ik duwde het kussen wat steviger tegen je aan. Zachtjes, zonder haast, leg ik mijn eigen bedje neer. Op de tv is een ander programma begonnen.

Je ligt naast me, vredig te slapen. Jij lag niet meer lekker op je zij en draaide je op je rug. Met gesloten ogen voelde je de cuddlebug en ging je ermee knuffelen. "Miekie," mompelde je. Er verscheen een glimlach op je gezicht.

Ik kan niet omschrijven hoe gek ik op je ben, maar hopelijk geeft dit een kleine impressie.