Vijfhoek (2)

Ik las vanmiddag mijn bewijs terug en dacht: dit moet logischer! Dus bij deze: meer plaatjes en meer uitleg, zodat het een stukkie duidelijker wordt. ;-)

Waar beginnen we mee? 

Je hebt een dun strook papier. De strook is overal even breed. Je maakt er een knoop in, trekt hem wat strakker en strijkt hem plat.Het resultaat is een vijfhoek.

Wat gaan we doen?

We gaan bewijzen dat de vijfhoek regelmatig is. Dat betekent dat elke hoek even groot is (108 graden, om precies te zijn) en dat alle zijden even lang zijn.

Stappenplan

Ik wil bewijzen dat alle zijden even lang zijn. Als ik dat heb bewezen, is de knoop regelmatig. Om te bewijzen dat alle zijden even lang zijn, ga ik op zoek naar driehoeken. Van deze driehoeken ga ik bewijzen dat ze congruent zijn (dat betekent: precies hetzelfde, identiek. Elke zijde en elke hoek is dus even lang en even groot). Als drie dingen van de driehoeken hetzelfde zijn, zijn de driehoeken identiek. Denk hier bijvoorbeeld aan: twee paar zijden zijn even lang en dezelfde hoek is even groot. Als je drie dingen hebt gevonden die hetzelfde zijn, heb je een congruentiekenmerk. Niet alle drietallen gelden, maar daar ga ik even verder niet op in.

De eerste driehoeken die ik ga vergelijken, zijn de driehoeken AGD en BFD. Om ze te vergelijken, gebruik ik dingen die ik zeker weet. Wat weet ik zeker:

- lengte van F naar B = lengte van A naar G, omdat dat de breedte van de strook is

- de hoek bij F = de hoek bij G (90 graden)

- de hoek bij D = de hoek bij D (het is dezelfde hoek)

Deze drie gegevens hebben het kenmerk Zijde - Hoek - Hoek, afgekort tot ZHH. Dit betekent dat de driehoeken AGD en BGD identiek zijn. Hieruit volgt dat |AD| (dit betekent "de afstand van punt A naar punt D") gelijk is aan |BG|. Misschien logisch, want je kunt het zien, maar nu weten we het zeker.

Op dezelfde manier kunnen we bewijzen dat alle andere diagonalen aan elkaar gelijk zijn. Op dezelfde manier bewijzen heet analoog. We hoeven het niet opnieuw te bewijzen, maar het gewoon aannemen. |AD|=|BD|=|BE|=|CE|=|AC|

De volgende twee driehoeken zijn BEH en CEI. Hier gebruiken we wat we ook bij de eerste twee driehoeken gebruikt hebben, maar dan met andere letters.

- lengte van H naar B = lengte van I naar C, omdat dat de breedte van de strook is

- de hoek bij H = de hoek bij I (90 graden)

- de hoek bij E = de hoek bij E (het is dezelfde hoek)

Deze driehoeken zijn identiek, dus geldt |EI|=|EH|. Uit de vorige twee driehoeken kregen we ook dat |DF|=DG|. 

Als we de diagonalen (bijvoorbeeld |AD| en |EB|) nou a noemen, en de lange kant van de diagonalen (bijvoorbeeld |DF| en |EI|) b, dan zijn de kleine stukjes (bijvoorbeeld |AF| en |BI|) de lengte a - b. Laten we even zeggen dat geldt: a - b = c.

Als laatst gaan we naar de twee kleine driehoeken AFB en BHC kijken.

- lengte van F naar B = lengte van B naar H, omdat dat de breedte van de strook is

- de hoek bij F = de hoek bij H (90 graden)

- lengte van A naar F = lengte van C naar H (deze lengte hebben we lengte c genoemd).

De driehoeken AFB en BHC zijn identiek. Dit betekent dat |AB| = BC|. Op dezelfde manier (analoog) kan ik nu bewijzen dat |AB|=|BC| = |CD| = |DE| = |AD|, en dat wilde ik bewijzen!

Alle zijden zijn even lang, dus het is een regelmatige vijfhoek. QED!