Math on Monday - Stelling van de oneven straatnummers

Je loopt in een straat met oneven huisnummers. Je moet bij nummer 121 zijn en je staat nu pas bij nummer 1. Het is een zonnige dag en je hebt geen haast. Om de tijd te doden besluit je om de huisnummers bij elkaar op te tellen.

1=1, dat is lekker makkelijk!

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25

1, 4, 9, 16, 25.. dat zijn de eerste kwadraten! Is dit toeval of geldt dit altijd? En als dit altijd geldt, hoe bewijs je zoiets?

Bewijzen kan op drie niveaus:

niveau 0: je gelooft wat de docent zegt. In dit geval: ik zeg dat de optelsom van de opeenvolgende oneven getallen ALTIJD een kwadraat is, en de lezer gelooft me.

niveau 1: je probeert, je tekent, en alles komt goed uit. In dit geval tel je op tot je geen zin meer hebt, bijvoorbeeld 1+3+5+7+9+11+...+99=2500. 2500 is het kwadraat van 50, dus tot daar klopt het. Toch is het nog geen bewijs, want er zijn nog veel meer oneven getallen en nog veel meer kwadraten!

niveau 2: je bewijst dat het ALTIJD geldt. Dat doe je met een formule.

Niveau 2 heeft verschillende stappen, te beginnen met het opstellen van de formule. 

• kwadraten zijn n², waarbij 'n' staat voor gehele positieve getallen.
• even getallen kun je delen door 2 (dat is namelijk de eigenschap van even getallen), dus de formule voor even getallen is 2n. Een oneven getal is 1 meer dan een even getal, dus de formule voor oneven getallen is 2n+1.
• na het opstellen van de formules, is het ook handig om te weten WAT je precies wilt bewijzen. Dit verwerken we in een stelling: 1+3+...+(2n-1)=n². 
• Nu het "echte" werk. Kijken of de formule geldt voor n=2. 1+3=4=2², dus dat klopt.
• Dit is een gek stapje: we nemen aan dat de stelling geldt voor het getal "n". Nu willen we bewijzen dat de formule ook geldt voor het getal "n+1". Dit doe je door in de formule het getal 'n' te veranderen voor het getal 'n+1'. Let op: bij de optelling van de oneven getallen telt het getal '2n-1' nog steeds mee.

(bewijs) 1+3+...+2n-1=n²

(invullen) 1+3+...+2n-1+(2(n+1)-1)=(n+1)²

(haakjes wegwerken) 1+3+...+2n-1+2n+1=n²+2n+1

(het bewijs invullen) n²+2n+1=n²+2n+1 Klopt!

We hebben bewezen dat de stelling waar is voor het getal 'n+1', onder de aanname dat het waar is voor 'n' en het voor een bepaalde waarde van 'n' het te hebben gecontroleerd. Deze methode heet "volledige inductie".

Let op dat het getal 'n+1' elk getal kan zijn. Hiermee hebben we de stelling bewezen!